Élimination d'un médicament

À l'instant  \(t=0\)  ( \(t\)  exprimé en heure), on injecte dans le sang 2 mg d'un médicament. Plusieurs injections sont nécessaires pour que le traitement soit efficace. Le corps élimine chaque heure \(20\,\%\)   du médicament présent dans le sang. Le principe actif du médicament reste efficace tant qu'il reste au moins \(10\,\%\)   de la quantité initiale.

On note \(T_n\) le pourcentage de médicament présent à la  \(n\) -ième heure à partir de l'injection. Ainsi  \(T_0=100\) .

L'objectif de l'exercice est de déterminer l'heure à laquelle une seconde injection sera nécessaire.

1. Calculer \(T_1\) et `T_2` .
2. Quelle est la nature de la suite \((T_n)\) ?
3. On considère l'algorithme en Python suivant.

1           \(\texttt{def seuil(a):}\)
2               \(\texttt{n=0}\)
\(\) 3              \(\texttt{u=100}\)
4              \(\texttt{while u>=a:}\)
5                   \(\texttt{T=0.8*T}\)
6                   \(\texttt{n=n+1}\)
7              \(\texttt{return n}\)

    a. Que renvoie \(\texttt{seuil(a)}\)  ?
    b. Proposer une valeur de \(a\) pour laquelle cet algorithme ne pourra pas s'arrêter.
    c. Quelle valeur doit-on affecter à  \(a\) pour répondre au problème ? La première injection ayant eu lieu à 11h00 du matin, à quelle heure faut-il prévoir la seconde ?